1. Геометрия Для Чайников Книга
2. Аналитическая Геометрия Для Чайников
3. Геометрия Для Чайников 9 Класс
4. Начертательная Геометрия Для Чайников

Видеоуроки, тесты и тренажёры по Геометрия за 7 класс по школьной программе. Используйте конспект уроков раздела «Геометрия 7 класс». Число изображений на чертеже должно быть достаточным для получения полного и однозначного представления о нем. В то же время на чертеже должно быть только необходимое количество. Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия: Векторы для чайников.

Все книги можно скачать бесплатно и без регистрации. Новичихина Л.И. Освещаются основные вопросы геометрического, проекционного и машиностроительного черчения. Рассказывается об оформлении чертежей деталей машин, сборочных единиц, схем. Написано в соответствии с программой курса «Техническое черчение» и учётом требований новых ГОСТов, входящих в единую систему конструкторской документации (ЕСКД). Может быть использовано для повышения квалификации молодых рабочих на производстве. Второе издание вышло в 1975 г.

Суворов С.Г., Суворов Н.С. Машиностроительное черчение в вопросах и ответах.

Приведены сведения, необходимые для выполнения и оформления машиностроительных чертежей, а также для изготовления по чертежам изделий, выполнения их сборки, монтажа и контроля; описаны техника и принципы нанесения размеров, изображений оригинальных деталей и элементов машин; рассмотрены правила и нормы оформления и выполнения чертежей в соответствии с Единой системой конструкторской документации (ЕСКД) и с учетом практики конструирования изделий машиностроения. Все справочные сведения даны в оригинальной форме - в виде вопросов и ответов. Для высококвалифицированных рабочих; может быть полезен учащимся техникумов. Георгиевскицй, Д.В. Техническое рисование и художественно-графическое оформление чертежей.

Пособие поможет развить объемно-пространственное восприятие, чувство пропорций, умение выполнять конструктивные рисунки геометрических форм и группы тел, используя светотеневую моделировку. В нем излагаются правила и приемы технического рисунка и экстерьера зданий, показаны примеры отмывки в архитектурно-строительных чертежах. Для студентов строительных средних и высших учебных заведений.

Каминский, О.В. Георгиевский, Б.В. Строительное черчение.

Изложена методика инженерного, машиностроительного и строительного черчения, приведены приемы построения некоторых наглядных изображений и основы рисования. Приводятся способы построения аксонометрий, перспектив и теней в архитектурном проектировании. Указаны единые современные требования стандартов СПДС и ЕСКД по содержанию и графическому оформлению общих чертежей и чертежей санитарно-технического оборудования зданий, железобетонных, металлических и деревянных конструкций. Даны сведения о необходимых инструментах и приспособлениях, облегчающих труд чертежника.

Издание 6-е, переработанное и дополненное. Для студентов строительных и архитектурных вузов и факультетов. Начертательная геметрия.

Курс лекций для студентов. Настоящее издание предназначено для студентов дневного и заочного отделения, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия».

Курс лекций имеет своей целью помочь студенту в освоении теоретических основ начертательной геометрии. Изложение разделов курса построено по принципу «от простого к сложному».

Все разделы иллюстрированы чертежами и наглядными рисунками, что призвано облегчить восприятие студентами приведенного материала. С помощью настоящего пособия студент сможет получить необходимый минимум знаний по указанному курсу, достаточный для использования при решении практических задач.

Допуски и посадки. Выбор и расчет, указание на чертежах. В пособии рассмотрены основные подходы рационального выбора допусков и посадок гладких цилиндрических и других типовых соединений; вопросы построения и расчета размерных цепей. Приведены основные положения, необходимые для выполнения чертежей деталей машин, примеры выполнения чертежей типовых деталей машин, расчета и выбора допусков расположения, формы и шероховатости поверхности, а также необходимые нормативные данные. Большаков В.П.

Инженерная и компьютерная графика. Рассмотрены вопросы решения чертежно-графических задач средствами двумерной графики, типовые вопросы подготовки конструкторской документации, способы решения задач инженерной графики методами трехмерного твердотельного моделирования. Приведен обзор применения компьютерных технологий в изучении геометрических и графических дисциплин, обобщен организационно-методический опыт проведения в компьютерных классах занятий по инженерной и компьютерной графике и соответствующих олимпиад. Большинство приведенных заданий ориентированы на использование системы КОМПАС-3D LT. Приложения содержат варианты практических заданий, сведения из ГОСТов, таблицы с оценками ошибок и недостатков выполнения чертежей, в том числе на компьютере. Для студентов и преподавателей высших и средних учебных заведений, учителей и учащихся общеобразовательных и профильных школ. Бобин, Талалай, Эйст.

Инженерная графика. Начертательная геометрия. В учебном пособии приведены примеры поэтапного решения 20 типовых контрольных задач, предусмотренных учебной программой горно-геологических специальностей высших технических учебных заведений.

Решения задач можно рассматривать как алгоритм геометрических построений, которым студенты имеют возможность воспользоваться при самостоятельном выполнении заданий. Боголюбов С.К. Инженерная графика. Учебник иллюстрирован цветными рисунка¬ми и написан в соответствии с программой курса 'Инженерная графика', утвержденной Научно-методическим центром среднего профессионального образования, состоит из пяти разделов: I - графическое оформление чертежей; II -основы начертательной геометрии; III - элементы технического рисования; IV - машиностроительные чертежи; V - компьютерная графика. Учебник содержит контрольные задания по основным темам курса 'Инженерной графики'. В учебнике, наряду с основными понятиями о технике черчения и геометрическом черчении, изложены основы начертательной геометрии, проекционного и машиностроительного черчения. Богданов В.Н.

Малежик И.Ф.Верхола А.П. Справочное руководство по черчению. В систематизированном виде приведены сведения об основах проекционного отображения и практических приемах геометрических построений, а также нормативно-технические положения, относящиеся к выполнению чертежей, схем, оформлению конструкторской и проектной документации в соответствии с ГОСТами, действующими на период 1989г. Для инженерно-технических работников машиностроительной промышленности.

Может быть полезно студентам втузов. Правила выполнения архитектурно-строительных чертежей. Настоящее пособие по архитектурно-строительному черчению выполнено в соответствии с требованиями ГОСТов ЕСКД (Единой системы конструкторской документации) и СПДС (Системы проектной документации для строительства).

Данное пособие может быть использовано при выполнении заданий по архитектурно-строительному черчению, а также при выполнении курсовых и дипломных проектов студентами всех строительных специальностей средних и высших учебных заведений. Курс начертательной геометрии. Широко известное и очень популярное пособие по начертательной геометрии. Соответствует программе, утвержденной Министерством образования Российской Федерации для машиностроительных, приборостроительных и механико-технологических специальностей втузов.

В новом издании принята современная система обозначений, добавлен раздел 'Начертательная гометрия и машинная графика'. Для студентов втузов. Справочное руководство по черчению. Справочное руководство по черчению содержит основные сведения для выполнения машиностроительных чертежей. Книга состоит из двух разделов: первый - геометрическое проекционное и машиностроительное черчение, второй - справочные данные (приложение). В четвертом издании все разделы полностью переработаны в соответствии с требованиями государственных стандартов ЕСКД (Единой системы конструкторской документации). В справочное руководство включены примеры из практики машиностроительного черчения, помогающие читателю понять требования стандартов ЕСКД по чертежам.

Геометрия Для Чайников Книга

Справочное руководство предназначено для инженерно-технических работников машиностроительной промышленности. Ермакова В.А.

Общие правила выпонения чертежей и геометрические построения. В методических указаниях рассматриваются правила выполнения и оформления чертежей. Собранный воедино файл из 7 методичек: Общие правила выполнения чертежей и геометрические построения.

Изображения (виды, разрезы, сечения предметов). Соединение винтом. Соединение болтовым комплектом. Шероховатость поверхностей. Гидравлические и пневматические устройства ЛА. Рабочие конструкторсткие документов сборочных едениц.

Очень подробное пособие. Черчение для строттелей. В книге приведены сведения по техническому и строительному черчению: оформление чертежей по ГОСТам ЕСКД и СПДС, и геометрические построения, аксонометрические и прямоугольные проекции, виды, сечения, разрезы; даны основы машиностроительного черчения и технического рисования; изложены правила выполнения и чтения строительных чертежей. Очень полезная книга, можно сказать что есть практически все что нужно! Некоторы разделы: Оформление чертежей и геометрические построения, Проекционные изображения на чертежах, Машиностроительные чертежи, Строительные чертежи, Рисование и графическое оформление чертежей. Куликов В.П., Кузин А.В.

Инженерная графика. Учебник содержит сведения о методах и свойствах проецирования, проекциях точки, отрезка прямой линии, плоскостей, геометрических тел, об образовании аксонометрических чертежей. В нем изложены правила выполнения и оформления чертежей деталей, сборочных единиц, а также схем. Рассмотрены правила деталирования сборочных чертежей, приведены сведения о разъемных и неразъемных соединениях, в том числе о стандартных крепежных резьбовых изделиях. В конце каждой главы приведены вопросы для самопроверки, позволяющие повторить учебный материал и проверить его усвоение. Кувшинов, Дукмасова, Пинигин. Начертательная геметрия.

Компьбтерный курс лекций. Два файла pdf в одном архиве 5.7 Мб.

Пособие представляет собой разработанный и отредактированный на персональном компьютере материал 17 лекций компьютерного курса 'Начертательная геометрия', отображающий теоретический материал в статике. Теоретический материал предельно сжат и отличается от известных аналогов выгодной компоновкой. На рисунках есть минимально-необходимый пояснительный текст, анализ, схема, алгоритм и последовательность решения задач. По каждой теме есть контрольные вопросы.

Левицкий B.C. Машиностроительное черчение и автоматизация выполнения чертежей. Учебник соответствует программе курса 'Инженерная графика'. Его особенность в том, что вопросы выполнения машиностроительных чертежей рассмотрены в полном соответствии с государственными стандартами не только традиционными ручными средствами, но и современными программными средствами для ЭВМ. По сравнению с предыдущим изданием (2-е - 1994 г.) гл. 1 учебника дополнена новыми сведениями о ГОСТах РФ, а в гл.

12 изложены современные методы и средства разработки и использования программ ЭВМ для автоматизации выполнения чертежей деталей машин. Глава 12 книги, посвященная автоматизации выполнения чертежей, устарела. Главная ценность книги - доступное, подробное и современное изложение требований ЕСКД, принципов и приемов машиностроительного черчения. Инженерная графика. HTML в архиве. Учебник подготовлен в соответствии с программой по курсу `Инженерная графика` для студентов инженерно-технических специальностей вузов и предназначен для обучения по дневной, вечерней и заочной формам.

С этой целью объем, и последовательность изложения материала подобраны с учетом обеспечения самостоятельной работы студентов. Каждая глава учебника заканчивается вопросами для самопроверки. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки и специальностям в области техники и технологии, сельского и рыбного хозяйства. Кузнецов А.И. Таблицы и альбом по допускам и посадкам. Пособие содержит справочные таблицы и альбом. В таблицах даны основные сведения (и числовые значения) по допускам и посадкам гладких соединений, допускам формы и расположения поверхностей, шероховатости и др., необходимые при проектировании, конструировании и разработке сборочных и детальных чертежей, курсовых, дипломных и инженерных проектов.

Романычева Э.Т., Соколова Т.Ю., Шандурина Г.Ф. Инженерная и компьютерная графика.

Данная книга представляет собой практическое руководство по изучению, в том числе самостоятельному, дисциплины «Инженерная и компьютерная графика». Учебник создан для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям «Информатика и вычислительная техника», «Конструирование и технология электронной аппаратуры» и специальностям электронной техники: «Системы автоматизированного проектирования», «Электронное машиностроение».

«Радиотехника» и др. В книге содержатся необходимые сведения по начертательной геометрии, проекционному черчению, выполнению общетехнических и специализированных чертежей для радиоэлектронной аппаратуры (РЭА), в том числе с применением современных компьютерных технологий в среде системы проектирования AutoСАD 2000. Авторами предложен учебно-методический комплекс, включающий теоретический материал, электронную тренинг-систему для изучения AutoСАD 2000, а также объектно-ориентированные системы-надстройки над AutoСАD для разработки чертежей интегральных микросхем и печатных плат. Учебник даст возможность освоить как основы инженерной графики, так и современные компьютерные технологии выполнения конструкторских документов. Русскевич и др. Справочник по инженерно-строительному черчению. Cinema 4d русификатор. В справочнике содержатся нормативные требования к составу и rрафическому оформлению инженерно-строительных рабочих чертежеi:i и друrой проектно-rрафической документации, ВХОДЯЩИХ в основные комплекты строительных рабочих чертежей различных марок.

Материал изложен на основе ГOCToB СПДС, ЕСКД и СТ СЭБ. Включены основные сведения по модульной координации размеров, reoметрическим пара метраМ ЗДАНИЙ, интенсификации проектно-rрафических paбот. Справочник рассчитан на архитекторов, инженерно-технических работников проектиых и строительных орrанизаций. Соловьев С.А. Перспектива — наука об изображении предметов в пространстве на плоскости или какой-либо поверхности в соответствии с теми кажущимися сокращениями их размеров, изменениями очертаний формы и светотеневых отношений, которые наблюдаются в натуре.

Не зная законов и правил линейной перспективы, невозможно начертить или нарисовать реалистически даже самый обыкновенный предмет, как, например, куб или параллелепипед. Следовательно, перспективой можно назвать учение о методах изображений, соответствующих зрительному восприятию. Содержание: 1. Термины и определения принятые в перспективе. Перспектива точки, прямой и плоскости. Перспективные масштабы.

Построение перспективы плоских и объемных фигур при недоступных точках схода. Перспектива интерьера. Некоторые практические способы построения перспективных изображений. Построение теней в перспективе. Построение отражений в плоском зеркале. Применение правил перспективы в изобразительном искусстве.

Тепляков Ю.А. Практикум по начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графике.

Учебное пособие. Даны задания для индивидуальных графических и лабораторных работ по дисциплинам 'Начертательная геометрия. Инженерная графика', 'Инженерная и компьютерная графика', методические указания по их выполнению и контрольные вопросы, приведены примеры выполнения заданий с использованием чертёжного инструмента и персонального компьютера в среде AutoCAD. Практикум предназначен для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки дипломированных специалистов в области техники и технологии. Тепляков Ю.А. Индивидуальные задания по начертательной геометрии и выполнение их на компьютере. Учебное пособие.

Аналитическая Геометрия Для Чайников

Даны задания для выполнения индивидуальных графических работ по дисциплине 'Начертательная геометрия. Инженерная графика', методические указания по их выполнению и контрольные вопросы для их защиты, приведены примеры выполнения заданий как традиционной графикой с помощью чертёжного инструмента, так и на персональном компьютере в среде AutoCAD 2000. Индивидуальные задания предназначены для студентов 1 курса специальностей 170500, 170600, 271500, 330200, 120100, 311300, 311900 и могут быть использованы также для специальностей инженерного профиля 100400, 210200, 200800, 072000, 311400, 220300, 060800, 101600, изучающих раздел 'Начертательная геометрия' в сокращённом объёме. Фролов С.А., Бубенников А.В., Левицкий В.С., Овчинникова И.С. Начертательная геометрия.

Инженерная графика. Методические указания и контрольные задания для студентов заочников инженерно-технических специальностей вузов. Темы решенных контрольных работ по начертательной геометрии: 1. Центральные и параллельные проекции.

Плоскость на эпюре Монжа. Позиционные и метрические задачи. Способы преобразования эпюра Монжа. Кривые линии.

Образование и задание поверхностей. Пересечение поверхности плоскостью и прямой линией. Взаимное пересечение поверхностей.

Плоскости и поверхности, касательные к поверхности. Развертки поверхностей. Аксонометрические проекции.

Автоматизация инженерно-графических работ с помощью ЭВМ. Темы решенных контрольных работ по инженерной графике: 1. Требования, предъявляемые стандартами ЕСКД, к выполнению чертежей. Построение очертания кулачка. Построение трех видов по данному наглядному изображению предмета.

Построение трех изображений и аксонометрической проекции предмета по его описанию. Построение трех изображений по двум данным. Выполнение разрезов и сечений.

Построение линии «среза». Построение третьего изображения по двум данным и линий перехода. Федоренко В.А. Справочник по машиностроительному черчению. Справочник предназначен для инженерно-технических работников, занимающихся выполнением чертежно-конструкторских работ. Эту книгу знает каждый студент, у которого была дисциплина 'Детали машин'. В справочнике помещены материалы по основам выполнения и оформления машиностроительных чертежей.

Приведены типоразмеры крепежных изделий, профилей прокатной стали, условные графические обозначения, применяемые в чертежах и схемах. В 14-е издание (13-е изд.

1978 г.) включены новые материалы: обозначение изделий и конструкторских документов, допуски и посадки гладких соединений, базы в машиностроении, общие требования к чертежам, чертежи деталей и др. Все материалы приведены в соответствие с государственными стандартами и стандартами СЭВ, действующими на 1.01.82 г. Геометрическое и проекционное черчение.

Аксонометрические проекции. Практикум для студентов инженерных специальностей. Практикум соответствует государственному образовательному стандарту дисциплины “Инженерная графика” для студентов инженерных специальностей направления дипломированных специалистов.

Содержит тестовые задания, вопросы для самоподготовки, позволяющие фиксировать результаты формирования знаний теории и способов графической деятельности студентов. Приводится методика обработки результатов тестирования. Предназначен для студентов, обучающихся по инженерным специальностям, и преподавателей данной специальности. Справочник по машиностроительному черчению.

Приведены нормативные материалы (по состоянию на 1 янв. ) по оформлению чертежей и схем машин и приборов, конструктивным элементам деталей, стандартным крепежным, соеденительным, опорным деталям и печатным платам, подшипникам качения, конструкционные материалы, чертежи типовых деталей, типовые геометрические построения. Справочное пособие для студентов. Содержание: основные положения ЕСКД, общие правила выполнения чертежей, изображенияя, правила нанесения размровров, обозначений и надписей, резьбы, чертежи схем, геометрич. Построения на плоскости и т. О позновательном интересе, начертательной геометрии и многом другом.

В учебном пособии рассмотрены правила построения изображений, основанные на методе проекций. Даны базовые понятия и определения курса, проецирование точки, прямой линии, плоскости, решение главных позиционных задач начертательной геометрии. В пособии приведены примеры контрольных работ по изучаемым темам курса, даны рекомендации по организации учебной деятельности.

Пособие содержит тесты, опросники и другие материалы для развития познавательного интереса студентов при изучении графических дисциплин. Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по инженерным специальностям. Чтение машиностроительных чертежей. В книге приведены условные обозначения на машиностроительных чертежах, кинематических, гидравлических и условных обозначениях выделены буквенные и цифровые параметры для конкретных примеров, приведенных в справочном пособии. Справочное пособие предназначено для слесарей и станочников различных профессий, машинистов, операторов, наладчиков, механиков, мастеров. Может использоваться в качестве учебного пособия в технических колледжах, лицеях, училищах и техникумах.

Дифференциальные уравнения: Числовые ряды: Функциональные ряды: Кратные интегралы: Элементы векторного анализа: Комплексный анализ: Теория вероятностей: Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, мне об этом Поставьте нашу кнопку: Когда нет времени: Векторы для чайников. Действия с векторами. Координаты вектора. Простейшие задачи с векторами Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии. Сначала немного о данном разделе высшей математики.

Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения».

Графический метод, понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости. Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу: 1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии, авторы – Л.С.

Атанасян и Компания. Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20-ть (!) переизданий, что, конечно, не является пределом. 2) Геометрия в 2 томах.

Атанасян, Базылев В.Т. Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том.

Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь. Обе книги можно бесплатно закачать в Интернете. Кроме того, можете использовать мой архив с готовыми решениями, который можно найти на странице. Из инструментальных средств предлагаю опять же собственную разработку – по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени.

Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам) А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью, а также. Не лишней будет и локальная задача –. На основе вышеуказанной информации можно освоить с, что позволит. Также полезны следующие статьи:, другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматривать типовые задания.

Понятие вектора. Свободный вектор Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец: В данном случае началом отрезка является точка, концом отрезка – точка. Сам вектор обозначен через. Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор, и это уже совершенно другой вектор.

Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи. Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором. У такого вектора конец и начало совпадают.!!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства. Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении и сказали, там же вверху еще стрелку ставят!

Верно, можно записать со стрелкой:, но допустима и запись, которую я буду использовать в дальнейшем. Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом:, подразумевая тем самым, что это вектор.

То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов: 1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами: и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора. 2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами: В частности, наш вектор можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой. Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка. Длина нулевого вектора равна нулю. Длина вектора обозначается знаком модуля:, Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже. То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам.

В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор. Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки: Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор. Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте вектор произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж.у по вектору.

Ведь не просто остроумная рифма, всё математически корректно – вектор можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =) Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения вектора имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу хватит развивать мой дурацкий пример влёчет разные последствия.

Впрочем, несвободные векторы и в курсе вышмата (не ходите туда:)). Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах. Действия с векторами.

Коллинеарность векторов В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии. Правило сложения векторов по правилу треугольников Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и: Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор от конца вектора: Суммой векторов и является вектор. Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору, а затем по вектору.

Образотворче мистецтво 3 клас. Тогда сумма векторов представляет собой вектор результирующего пути с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы. Кстати, если вектор отложить от начала вектора, то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов. Умножение вектора на число Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные». Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными.

Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены. Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности:, при этом возможна детализация: (векторы сонаправлены) или (векторы направлены противоположно). Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор, длина которого равна, причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при. Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка: Разбираемся более детально: 1) Направление. Если множитель отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное. Если множитель заключен в пределах или, то длина вектора уменьшается.

Так, длина вектора в два раза меньше длины вектора. Если множитель по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в раз. 3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например,. Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор. 4) Векторы сонаправлены. Векторы и также сонаправлены.

Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы. Какие векторы являются равными? Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе. Координаты вектора на плоскости и в пространстве Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы и: Векторы и ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность. Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например:.

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости.

Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь. Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е.

Длины векторов базиса равны единице. Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например:. Координатные векторы нельзя переставлять местами. Любой вектор плоскости единственным образом выражается в виде:, где – числа, которые называются координатами вектора в данном базисе.

Геометрия Для Чайников 9 Класс

А само выражение называется разложением вектора по базису. ВСЕМ настоятельно рекомендую прочитать ВСЁ! Начнем с первой буквы алфавита:. По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные: 1) правило умножения вектора на число: и; 2) сложение векторов по правилу треугольника:. А теперь мысленно отложите вектор от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе».

Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится!

Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте. Векторы, иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор сонаправлен с базисным вектором, вектор направлен противоположно по отношению к базисному вектору.

У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так: А базисные векторы, к слову, так: (по сути, они выражаются сами через себя). И, наконец:,. Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Инструкция по эксплуатации. Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения.

Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы:,. Переставьте слагаемые местами и проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника. Рассмотренное разложение вида иногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. В системе единичных векторов).

Начертательная Геометрия Для Чайников

Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант: Или со знаком равенства: Сами базисные векторы записываются так: и То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.

Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя. Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору, строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору. Действительно, и – это ведь два разных вектора. С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат: Перед вами ортонормированный базис трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы данного базиса попарно ортогональны:.

Ось наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. О том, как правильно выполнять плоские и трехмерные чертежи на клетчатой бумаге, читайте в самом начале методички. Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису:, где – координаты вектора (числа) в данном базисе. Пример с картинки:.

Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: (красная стрелка), (зеленая стрелка) и (малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов:. Вектор суммы начинается в исходной точке отправления (начало вектора ) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора ). Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение «останется при нём». Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо. Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули.

Примеры: вектор (дотошно ) – запишем; вектор (дотошно ) – запишем; вектор (дотошно ) – запишем. Базисные векторы записываются следующим образом: Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.

А мы переходим к практической части: Простейшие задачи аналитической геометрии. Действия с векторами в координатах Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть, даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы сами увидите. Как найти вектор по двум точкам? Если даны две точки плоскости и, то вектор имеет следующие координаты: Если даны две точки пространства и, то вектор имеет следующие координаты: То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора. Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора. Формулы в конце урока.

Пример 1 Даны две точки плоскости. Найти координаты вектора Решение: по соответствующей формуле: Как вариант, можно было использовать следующую запись: Эстеты решат и так: Лично я привык к первой версии записи. Ответ: По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь: Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов: Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя. Координаты же вектора – это его разложение по базису, в данном случае. Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости.

Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости. Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи:, а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства. Дамы и господа, набиваем руку: Пример 2 а) Даны точки. Найти векторы. Б) Даны точки.

Найти векторы. В) Даны точки.

Найти векторы. Г) Даны точки. Найти векторы. Пожалуй, достаточно.

Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока. Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =) Как найти длину отрезка? Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и, то длину отрезка можно вычислить по формуле Если даны две точки пространства и, то длину отрезка можно вычислить по формуле Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и, но более стандартен первый вариант Пример 3 Даны точки. Найти длину отрезка. Решение: по соответствующей формуле: Ответ: Для наглядности выполню чертёж Отрезок – это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить: Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.». Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи. Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так:.

Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя. Вот другие распространенные случаи: Нередко под корнем получается достаточно большое число, например. Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4:. Да, разделилось нацело, таким образом:. А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4?.

Таким образом:. У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять:.

В результате: Готово. Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д. В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя. Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени: Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно. Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве: Пример 4 Даны точки.

Найти длину отрезка. Решение и ответ в конце урока.

Как найти длину вектора? Если дан вектор плоскости, то его длина вычисляется по формуле.

Если дан вектор пространства, то его длина вычисляется по формуле. Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора. Пример 5 Даны точки. Найти длину вектора. Я взял те же точки, что и в Примере 3. Решение: Сначала найдём вектор: По формуле вычислим длину вектора: Ответ: Не забываем указывать размерность – «единицы»!

Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку. Округление целесообразно проводить до 2-3 знаков после запятой. Выполним чертеж к задаче: В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости.

А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка равна длине вектора. Так же очевидно, что длина вектора будет такой же. По итогу: Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки.

Найти длину отрезка. Вместо применения формулы, поступаем так: 1) Находим вектор. 2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка равна длине вектора: Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии. Вышесказанное справедливо и для пространственного случая Для тренировки: Пример 6 а) Даны точки. Найти длину вектора.

Б) Даны векторы,. Найти их длины. Решения и ответы в конце урока. Действия с векторами в координатах В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда заданы координаты векторов: 1) Правило сложения векторов.

Рассмотрим два вектора плоскости. Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты:. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов:. Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор и найдём сумму трёх векторов: Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата.

Если даны векторы, то их суммой является вектор. 2) Правило умножения вектора на число. Для того чтобы вектор умножить на число, необходимо каждую координату данного вектора умножить на число:. Для пространственного вектора правило такое же: Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии. Примечание: Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов, но и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства. Более подробно о базисах читайте в статье. Пример 7 Даны векторы.

Найти и Решение чисто аналитическое: Ответ: Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе, то графическое решение задачи будет таким: Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства.

Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех – в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Впрочем, лучше всегда рисуйте, а то напугаете всех своими знаниями =) Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости. Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не надо): Пример 8 Даны векторы.

Найти и Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем: Ответ: И в заключение занятный пример с векторами на плоскости: Пример 9 Даны векторы. Найти и Это задача для самостоятельного решения. Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки: Это, так скажем, вектор-минимум студента =) Любите векторы, и векторы полюбят вас! Решения и ответы.